πρόβλημα

Χαρακτηρίζεται ως π. στα μαθηματικά, κάθε πρόταση, με την οποία δίνονται μερικά στοιχεία (τα δεδομένα του προβλήματος) και ζητείται να οριστούν από αυτά μερικά στοιχεία (οι άγνωστοι του προβλήματος), που περιγράφονται έμμεσα μέσα στην πρόταση. Έστω π ένα πρόβλημα· Δ το σύνολο των δεδομένων και X το σύνολο των ζητουμένων του. Έστω ότι έγινε κατορθωτό να οριστεί ένα σύνολο X₁, που να ικανοποιεί το πρόβλημα π. Αυτό το σύνολο X₁ λέμε ότι είναι μία λύση του προβλήματος π. Τα δεδομένα ενός π. μπορεί να είναι οποιαδήποτε μαθηματικά αντικείμενα, για παράδειγμα, αριθμοί, σχήματα, σχέσεις, εξισώσεις, ιδιότητες κλπ.· επίσης και τα ζητούμενα. Έστω ένα πρόβλημα π· δημιουργούνται τότε από αυτό τρία άλλα προβλήματα: 1) το πρόβλημα π έχει λύση; (ύπαρξη λύσης)· 2) το πρόβλημα π έχει μία μόνο λύση; (το μονοσήμαντο της λύσης)· 3) αν υπάρχουν λύσεις του προβλήματος π, να οριστούν (κατασκευή των λύσεων). Παράδειγμα 1. Να υπολογιστεί το μήκος της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου με μήκη των καθέτων του πλευρών 3 εκ., 4 εκ. α) Υπάρχουν ορθογώνια τρίγωνα με μήκη κάθετων πλευρών 3 εκ., 4 εκ.; Η απάντηση είναι: ναι. β) Υπάρχει ένα μόνο ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη των κάθετων πλευρών του 3 εκ., 4 εκ.; Η απάντηση είναι: ναι, αν αδιαφορούμε για τη θέση του τριγώνου στον χώρο· αλλιώς υπάρχουν, όσα θέλουμε, γ) (Υπολογισμός του μήκους της υποτείνουσας). Κάθε ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη των κάθετων πλευρών του 3 εκ., 4 εκ., έχει μήκος της υποτείνουσάς του, έστω x εκ., που υπολογίζεται από το ότι: x² = 3² + 4² (= 25), δηλαδή x = 5 εκ. Παράδειγμα 2. Αν α, β είναι φυσικοί αριθμοί (1, 2, 3,...), ναβρεθεί φυσικός αριθμός τέτοιος, ώστε το γινόμενό του με τον α να είναι ο β. α) Αν υπήρχε φυσικός αριθμός έστω x, όπως τον ζητάει το πρόβλημα, τότε θα ήταν: α · x = β· αυτός ο x, λοιπόν, θα ήταν ένας διαιρέτης του β, δηλαδή ο β θα ήταν τότε ένα πολλαπλάσιο του α. Ώστε: θα υπήρχε x, φυσικός αριθμός, τέτοιος ώστε: α · x = β, εάν και μόνον εάν ο β ήταν πολλαπλάσιο του α. β) Αν υπάρχει φυσικός αριθμός x με α · x = β, τότε δεν υπάρχει άλλος τέτοιος. Γιατί, αν υπήρχε φυσικός αριθμός x’ με x’  x και αx’ = β, τότε θα ήταν αx’ = αx και τότε (επειδή ο α ως φυσικός αριθμός είναι  0) θα ήταν x’ = x άτοπο, γ) Έστω β πολλαπλάσιο του ο α· τότε x = β\ α (= φ.α.). Το κάθε πρόβλημα παίρνει ένα όνομα, που σχετίζεται με τη φύση των αγνώστων του: αν, για παράδειγμα, ζητείται να υπολογιστεί κάποιος αριθμός, λέγεται πρόβλημα υπολογισμού, αν ζητείται να κατασκευαστεί ένα γεωμετρικό σχήμα, λέγεται πρόβλημα γεωμετρικής κατασκευής κλπ. Το πρόβλημα επίσης χαρακτηρίζεται με ένα όνομα, ανάλογα με τον κλάδο των μαθηματικών, που αναφέρεται, π.χ. πρόβλημα αριθμητικής, πρόβλημα αλγεβρικό, γεωμετρικό κλπ. δήλιο πρόβλημα. Με αυτόν τον όρο χαρακτηρίζεται το εξής, από την αρχαιότητα γνωστό γεωμετρικό πρόβλημα: δίνεται ένας κύβος Κ, με ακμή ένα ευθύγραμμο τμήμα, έστω, α· να κατασκευαστεί με τον κανόνα και τον διαβήτη (μόνο) ο κύβος με όγκο διπλάσιο από τον όγκο του κύβου Κ. Το πρόβλημα αυτό παρέμενε άλυτο ώσπου ο Γκάους απέδειξε ότι είναι αδύνατο να λυθεί, δηλαδή ότι: με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη είναι αδύνατο να κατασκευαστεί η ακμή του κύβου με όγκο διπλάσιο από τον όγκο του κύβου Κ. Το πρόβλημα με παράλειψη της δέσμευσης: με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη είχε λυθεί (με περισσότερους, μάλιστα, από έναν τρόπους) κατά την αρχαιότητα. Δυο άλλα, γεωμετρικά προβλήματα, γνωστά από την αρχαιότητα είναι τα εξής: α) να χωριστεί μία δεδομένη γωνία σε 3 ίσα μέρη (τριχοτόμηση της γωνίας) με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη και β) να κατασκευαστεί με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη τετράγωνο με εμβαδόν ίσο με το εμβαδόν ενός δεδομένου κύκλου (τετραγωνισμός του κύκλου). Κατά το τέλος του περασμένου αιώνα αποδείχτηκε ότι και τα προβλήματα αυτά είναι αδύνατο να λυθούν με μόνο τον κανόνα και τον διαβήτη· χωρίς τη δέσμευση αυτή είχαν δοθεί λύσεις ήδη από την αρχαιότητα. Είναι ενδιαφέρον ότι το δ.π. και το πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας οδηγούν σε αλγεβρικές εξισώσεις τρίτου βαθμού, είναι αλγεβρικά προβλήματα, μη επιλύσιμα με τον κανόνα και τον διαβήτη. Γενικά αποδείχτηκε ότι με μόνο κανόνα και διαβήτη είναι επιλύσιμα εκείνα μόνο τα γεωμετρικά προβλήματα, που μεταφράζονται σε αλγεβρικές εξισώσεις, που λύνονται με τη χρήση ριζικών μόνο δεύτερης τάξης. Αυτό ήταν μία συνέπεια των εργασιών του Ε. Γκαλουά. Αντίθετα, το πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου δεν είναι πρόβλημα αλγεβρικό, υπερβαίνει την άλγεβρα, είναι –όπως λέγεται στα μαθηματικά– ένα πρόβλημα υπερβατικό. Αυτό αποσαφηνίστηκε, όταν κατά το τέλος του 19ου αι. αποδείχτηκε ότι ο αριθμός του Αρχιμήδη, π. (ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρό της) είναι αριθμός υπερβατικός, δηλαδή δεν προκύπτει ως ρίζα κάποιας αλγεβρικής εξίσωσης.

* * *

-ήματος, το, ΝΜΑ [προβάλλω]

1. πρόταση με την οποία παρέχονται ορισμένες γνωστές έννοιες και ζητείται η εύρεση άλλων, άγνωστων, με την εφαρμογή μαθηματικών ή άλλων επιστημονικών διεργασιών (α. «γεωμετρικό πρόβλημα» β. «προβλήμασιν ἄρα, ἦν δ' ἐγώ, χρώμενοι ὥσπερ γεωμετρίαν οὕτω καὶ ἀστρονομίαν μέτειμεν», Πλάτ.)

2. αίνιγμα, γρίφος

3. δύσκολη κατάσταση που χρειάζεται διευθέτηση, δυσχέρεια

νεοελλ.

1. το θέμα που συζητείται, για το οποίο γίνεται λόγος, το προκείμενο

2. κάθε ζήτημα ή ερώτημα για το οποίο απαιτείται λύση

3. συνεκδ. α) κάθε ζήτημα τού οποίου η λύση δεν είναι προφανής ή εύκολη («το οξύ πρόβλημα τού πληθωρισμού»)

β) κάθε ζήτημα για τη λύση τού οποίου παρουσιάζονται δυσχέρειες («το πρόβλημα τού νέφους»)

4. φρ. «θεωρητικό πρόβλημα» — πρόβλημα που ανάγεται στη θεωρία, στην αφηρημένη σκέψη

μσν.-αρχ.

μτφ. οτιδήποτε προβάλλεται ως πρόφαση, πρόσχημα ή δικαιολογία

αρχ.

1. καθετί που τοποθετείται μπροστά και προεξέχει

2. καθετί που θέτει κανείς μπροστά του για άμυνα ή για προστασία, μέσο άμυνας ή προστασίας, όπως είναι λ.χ. η ασπίδα ή τα οχυρωματικά έργα («τῶν... προβλημάτων τὰ μὲν πρὸς τὸν πόλεμον ὁπλίσματα, τὰ δὲ φράγματα», Πλάτ.

β. «κρύους πρόβλημα ποιοῡνται τὴν ἐσθῆτα», Ευρ.)

3. καθετί που τοποθετείται για να συγκαλύψει ή να αποκρύψει κάτι ή κάποιον, προπέτασμα («οἷ' αὖ μ' ὑπῆλθες... λαβὼν πρόβλημα σαυτοῡ παῑδα τόνδ' ἀγνῶτ' ἐμοί», Σοφ.)

4. ζήτημα ιδίως διαφιλονικούμενο

5. κώλυμα, εμπόδιο

6. (στη λογ. τού Αριστοτέλους) ερώτηση για το αν κάτι που λέγεται είναι έτσι ή αλλιώς

6. στον πληθ. Προβλήματα

τίτλος έργου τού Αριστοτέλους

7. φρ. α) «πρόβλημα ἁλίκλυστον» — ακρωτήριο κατακλυζόμενο από κύματα

β) «σώματος πρόβλημα» — χαρακτηρισμός τής ασπίδας

γ) «νεών πρόβλημα» — τείχος, περίφραγμα σε λιμάνι

δ) «χαλκᾱ προβλήματα» — ο χάλκινος θώρακας τών αλόγων

ε) «πρόβλημα φόβου [ή αἰδοῡς]»

(στον Σοφ.) φόβος [ή αιδώς]

στ) «πρόβλημα λαμβάνω τι» ή «πρόβλημα ποιοῡμαι τι» — χρησιμοποιώ κάτι ως μέσο άμυνας

ζ) «oἱ κατὰ πρόβλημα λόγοι» — οι θεωρητικοί λόγοι.